Metodo de Integracion Por Partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de ${\displaystyle \ u}$ y ${\displaystyle \ dv}$, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

${\displaystyle \int _{a}^{b}udv=\left.uv\right|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}vdu}$.

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla nemotécnica "ILATE":

1. Inversa trigonométrica
2. Logarítmica
3. Algebraica o polinómica
4. Trigonométrica
5. Exponencial.

Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotécnia ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:

1. Arcoseno(y cualquier trigonométrica inversa)
2. Logarítmica
3. Polinómica
4. Exponencial
5. Seno/coseno(y cualquier trigonométrica)

Para deducir la fórmula se puede partir de la derivada del producto de dos funciones: ${\displaystyle {d(u.v) \over dx}=u.{\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!x}+v.{\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!x}}$
Multiplicando por ${\displaystyle dx}$ se obtiene ${\displaystyle d(u.v)=u.dv+v.du}$. Integrando ambos miembros en la ecuación se tiene. ${\displaystyle \int d(u.v)=\int u.dv+\int v.du}$
Como la integral y el diferencial son operaciones inversas se tiene. ${\displaystyle u.v=\int u.dv+\int v.du}$; despejando: ${\displaystyle \int u.dv=u.v-\int v.du}$

Si aún no se entiende te mostramos algunos ejemplos del método de integración por partes en los siguientes videos:

En este primer ejemplo se toma como primera integración al "Logaritmo natural de X que divide a X al cubo por el diferencial de X" ¿Se entendió?... Debemos tomar en cuenta la formula ya antes mencionada para poder llevar a base este procedimiento.

A continuación se muestra otro ejemplo del mismo sistema de integración por partes, sobre "La integral de X por el exponencial elevado a la 5x por el diferencial de X".

Y otro ejemplo donde mostramos un producto trigonométrico para calcular la integral.

Estos son ejemplos base de como aprender a integrar por parte.