Metodo De Integracion Por Sustitucion

${\displaystyle \int _{h(a)}^{h(b)}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(h(u))du}$
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Ejemplo #1

Suponiendo que la integral a resolver es:

${\displaystyle \int _{-2}^{3}x\cos(2x^{2}+3)dx\approx 0,4591614613\dots }$

En la integral se reemplaza ${\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}+3}$ con ${\displaystyle \scriptstyle u=u(x)}$:

(1)${\displaystyle \int _{-2}^{3}x\cos(u(x))dx}$

Ahora se necesita sustituir también ${\displaystyle \scriptstyle dx}$ para que la integral quede sólo en función de ${\displaystyle \scriptstyle u}$:
Se tiene que ${\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}+3=u}$ por tanto derivando se obtiene ${\displaystyle \scriptstyle 4xdx=du}$. A continuación se despeja ${\displaystyle \scriptstyle dx={\frac {du}{4x}}}$ y se agrega donde corresponde en (1):

${\displaystyle \int _{11}^{21}x\cos(u){\frac {du}{4x}}}$

Simplificando:

${\displaystyle \int _{11}^{21}\cos(u){\frac {du}{4}}}$

Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo ${\displaystyle \ u=2x^{2}+3}$ :

${\displaystyle u_{1}=2(-2)^{2}+3=11\,\!}$ (límite inferior)

${\displaystyle u_{2}=2(3)^{2}+3=21\,\!}$ (límite superior)

Tras realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{11}^{21}\cos(u)du={\frac {1}{4}}(\sin(21)-\sin(11))}$

Ejemplo #2

Suponiendo ahora que la integral a resolver es:

${\displaystyle \int {\frac {1}{5+3\cos(x)}}dx}$

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: ${\displaystyle \ \sin(x)}$ y ${\displaystyle \ \cos(x)}$ la sustitución conveniente resulta ser ${\displaystyle \ u=\tan(x/2)}$ :

${\displaystyle \ \sin(x/2)={\frac {u}{\sqrt {1+u^{2}}}}}$, ${\displaystyle \ \cos(x/2)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}}$
Entonces (por Teorema de la suma y la resta)${\displaystyle \ \cos(x)=\cos ^{2}(x/2)-\sin ^{2}(x/2)={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}}$
por otra parte ${\displaystyle \ du={\frac {1}{2}}\sec ^{2}(x/2)dx}$ o ${\displaystyle \ dx=2\cos ^{2}(x/2)du={\frac {2du}{1+u^{2}}}}$
la integral queda después de dicha sustitución:

${\displaystyle \int {\frac {du}{u^{2}+4}}={\frac {1}{2}}\arctan(u/2)+c={\frac {1}{2}}\arctan({\frac {1}{2}}\tan(x/2))+c}$